내적에 대한 고찰

$\mathbf{\vec{v}}$와 $\mathbf{\vec{w}}$의 내적(dot product)는 $\lVert\mathbf{\vec{v}}\rVert \lVert\mathbf{\vec{w}}\rVert \cos \theta$이며, $\mathbf{\vec{v}}$, $\mathbf{\vec{w}}$의 내적은 ($\mathbf{\vec{v}}$가 $\mathbf{\vec{w}}$에 정사영하여 얻은 벡터의 길이)와 ($\mathbf{\vec{w}}$의 길이)를 곱한 값이다. 즉, 내적은 "정사영(=projection)"이라는 가하학적 특성을 가지고 있다.

 

뿐만 아니라, 내적은 신기하게도 다음과 같이 계산하여 구할 수 있다.

다시 말해, 다음과 같이 계산해도, "($\mathbf{\vec{v}}$가 $\mathbf{\vec{w}}$에 정사영하여 얻은 벡터의 길이) $\times$ ($\mathbf{\vec{w}}$의 길이)"를 구할 수 있다.

신기한 현상이다. 직관적으로 봤을 때, 위 수식이 정사영과 관련이 있을 것이라고 생각하기 힘들다. 

 

$$ \mathbf{\vec{v}} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \ \mathbf{\vec{w}} = \begin{bmatrix} d \\ e \\ f \end{bmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} d \\ e \\ f \end{bmatrix} = a \cdot d + b \cdot e + c \cdot f $$

 

왜 그런지는 N-D to 1-D project transformation으로 설명 가능하다.

왜냐하면, 내적 계산식과 동일하기 때문이다.

참고로, 필자는 N-D to 1-D project transformation에서 발견한 특징으로 dot product라는 개념이 생겨났다고 생각한다.

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1. 내적 is 정사영?

우선 그림과 같은 2-D to 1-D project transformation $A$가 있다고 하자.

즉, 2차원 벡터가 하늘색 대각선에 정사영되어 1차원으로 squeeze되는 transformation $A$가 있다고 하자.

project transformation $A$는 $\begin{bmatrix} u_x & u_y \end{bmatrix}$로 표현할 수 있다.

왜냐하면, $\mathbf{\hat{i}}$과 $\mathbf{\hat{j}}$이 각각, $u_x$, $u_y$로 정사영되기 때문이다.

 

 

project transformation $A$에 임의의 벡터 $\mathbf{\vec{x}}$를 통과시키면,

"$\mathbf{\vec{x}}$가 하늘색 대각선에 정사영했을 때 생긴 벡터의 길이"가 나온다.

즉, "($\mathbf{\vec{x}}$이 $\mathbf{\hat{u}}$를 정사영했을 때 생긴 벡터의 길이) $\times$ ($\mathbf{\hat{u}}$의 길이)"로도 해석할 수 있다.

 

계산식은 $\begin{bmatrix} u_x & u_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = x\cdot u_x + y\cdot u_y$로 내적 계산식과 동일하기 때문에, 내적에도 "정사영이라는 기하학적 특징"이 있는 것이다.

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2. 내적 is 닮은 정도?

길이가 고정되어 있는 상태에서 방향이 움직이는 벡터 $\mathbf{\vec{v}}$와 $\mathbf{\vec{w}}$가 있다고 가정하자.

내적은 "서로의 방향 성분을 얼마나 가지고 있는지를 계산한 값"이다. 즉, 얼마나 닮았는지를 알려준다.

 

1). 두 벡터의 방향이 가까워질수록, 서로의 방향 성분을 더 많이 가질 것이며, 내적의 값이 커질 것이다.

 

2). 두 벡터가 서로 수직 관계에 가까워질수록, 서로의 방향 성분을 더 적게 가져갈 것이며, 내적 값이 작아질 것이다.

임의의 벡터는 그 벡터 방향에 수직되는 방향의 성분을 전혀 갖고 있지 않기 때문이다.

 

즉, 벡터끼리 닮을수록 내적 값은 커지며, 안 닮을수록 내적 값은 작아진다.